Représentation des fonctions de la variable complexe en Python

dimanche 20 juillet 2025



en cours de rédaction


Petit interlude sans rapport avec les fractales.


1 – Comment associer à chaque nombre complexe une couleur

?

from colorsys import hsv_to_rgb
from numpy    import angle as arg, pi as π, log as ln

def CercleChromatique() :
    I = CréerDessin(LARGEUR, HAUTEUR)
    Centrer(0.0, 0.0, 3.0)
    for px in range(LARGEUR) :
        for py in range(HAUTEUR) :
            (x, y) = PixelVersPoint(px, py)
            m = abs(x + y * 1j)
            if 0.5 < m < 1.5 :
                θ = arg(x + y * 1j)
                
                # Passages ]-π ; π] → ]-1/2 ; 1/2] → [0 ; 1[
                h = θ / (2 * π)
                if h < 0 :
                    h += 1
                
                (r, g, b) = hsv_to_rgb(h, 1.0, 1.0)
                
                # Passage [0 ; 1[³ → {0 ; ... ; 255}³
                R = int(255 * r) ; G = int(255 * g) ; B = int(255 * b)
                
                I.putpixel((px, py), (R, G, B))
    Afficher(I)

>>> CercleChromatique() le cercle chromatique

def CouleurDuComplexe(z) :
    m = abs(z) ; ln_m_plus_1 = ln(m + 1)
    h = arg(z) / (2 * π)
    if h < 0 :
        h += 1
    s = 1 / (1 + 0.3 * ln_m_plus_1)
    v = 1 - 1 / (1.1 + 5 * ln_m_plus_1)
    (r, g, b) = hsv_to_rgb(h, s, v)
    R = int(255 * r) ; G = int(255 * g) ; B = int(255 * b)
    return (R, G, B)


2 – Représentation des fonctions d'une variable complexe

?

def ReprésenterFonction(f) :
    I = CréerDessin(LARGEUR, HAUTEUR)
    for px in range(LARGEUR) :
        for py in range(HAUTEUR) :
            (x, y) = PixelVersPoint(px, py)
            Z = f(x + 1j * y)
            I.putpixel( (px, py), CouleurDuComplexe(Z) )
    Afficher(I)

>>> Centrer(0.0, 0.0, 10.0)
>>> ReprésenterFonction(lambda z : z) représentation de la fonction identité dans le plan complexe

>>> Centrer(0.0, 0.0, 10.0)
>>> from numpy import exp
>>> ReprésenterFonction(exp) représentation de la fonction exponentielle dans le plan complexe

>>> Centrer(0.0, 0.0, 10.0)
>>> from scipy.special import gamma as Γ
>>> ReprésenterFonction(Γ) représentation de la fonction Γ dans le plan complexe


3 – Séries entières

?

def SommeSérieEntière(a, N_MAX = 50) :
    def f(z) :
        Z = 0.0 + 0.0j
        for n in range(N_MAX + 1) :
            Z *= z
            Z += a(N_MAX - n)
        return Z
    return f

>>> Centrer(0.0, 0.0, 10.0)
>>> f = SommeSérieEntière(lambda n : 1)
>>> ReprésenterFonction(f) série géométrique tronquée à cinquante termes

>>> Centrer(0.0, 0.0, 10.0)
>>> f = SommeSérieEntière(lambda n : 1, N_MAX = 100)
>>> ReprésenterFonction(f) série géométrique tronquée à cent termes

>>> Centrer(0.0, 0.0, 10.0)
>>> ReprésenterFonction(lambda z : 1 / (1 - z)) prolongement analytique de la série géométrique