La constante d'Archimède

jeudi 10 juillet 2025



en cours de rédaction


C'est le petit nom du nombre \(\pi\) (et Archimède, c'est le type qui passe des appels téléphoniques depuis sa baignoire et qui, au lieu de dire « À l'eau ! » comme tout le monde, s'exclame « Eurêka ! »).


1 – La formule de Machin (1706)

?

# La formule de Machin
def Machin(ε) :
    A = Arctan(Décimal(1) / Décimal(5), ε / 32)
    B = Arctan(Décimal(1) / Décimal(239), ε / 8)
    return 16 * A - 4 * B

>>> ε = Décimal(10) ** (-NB_CHIFFRES)
>>> π = Machin(ε)
>>> Afficher(π)
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198


2 – Utilisation de la règle de d'Alembert

?




3 – La formule de Ramanujan (1910)

?

# La formule de Ramanujan
def Ramanujan(ε) :
    ε /= 10_000
    Racine_de_8 = Racine(Décimal(8))
    NMHCU = Décimal(9_801)
    Q = ε * (Décimal(1) - Décimal(2) / Décimal(99) ** 4)
    q = Décimal(396) ** 4
    s = Décimal(0)
    k = 0 ; coef = Décimal(1) ; num = Décimal(1_103) ; dén = Décimal(1)
    t = coef * num / dén
    while t > Q :
        s += t
        coef *= 4 * (4*k + 3) * (4*k + 2) * (4*k + 1)
        coef /= (k + 1) ** 3
        num  += Décimal(26_390)
        dén  *= q
        k    += 1
        t = coef * num / dén
    print("Nombre de termes calculés : ", k + 1)
    return NMHCU / (Racine_de_8 * s)

>>> ε = Décimal(10) ** (-NB_CHIFFRES)
>>> π = Ramanujan(ε)
Nombre de termes calculés : 128
>>> Afficher(π)
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198


4 – La formule des frères Chudnovsky (1988)

?

# La formule des Chudnovsky
def Chudnovsky(ε) :
    ε /= 100_000_000
    Racine_de_10_005 = Racine(Décimal(10_005))
    QCVSMHCQV = Décimal(426_880)
    q = Décimal(640_320) ** 3
    s = Décimal(0)
    k = 0 ; sg = 1 ; coef = Décimal(1) ; num = Décimal(13_591_409) ; dén = Décimal(1)
    t = coef * num / dén
    while t > ε :
        s += sg * t
        sg = -sg
        coef *= 8 * (6*k + 5) * (6*k + 3) * (6*k + 1)
        coef /= (k + 1) ** 3
        num  += Décimal(545_140_134)
        dén  *= q
        k    += 1
        t = coef * num / dén
    print("Nombre de termes calculés : ", k + 1)
    return QCVSMHCQV * Racine_de_10_005 / s

>>> ε = Décimal(10) ** (-NB_CHIFFRES)
>>> π = Chudnovsky(ε)
Nombre de termes calculés : 73
>>> Afficher(π)
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198